1. ความหลากหลายเชิงการจัดหมู่
พลังที่แท้จริงของความสัมพันธ์เชิงอนุกรมอยู่ที่ความหลากหลายของลำดับที่มันควบคุม ตัวอย่างเช่น เลข เลขสติร์ลิงชนิดที่สอง ถูกนิยามโดย:
$$S_{n+1,k} = S_{n,k-1} + nS_{n,k}$$
จำนวนเหล่านี้นับจำนวนวิธีการแบ่งเซตที่มี $n+1$ องค์ประกอบออกเป็น $k$ กลุ่มย่อยที่ไม่ว่างเปล่า ในขณะเดียวกัน เลขคาตาลัน ($C_n$) อธิบายการแบ่งพื้นที่รูปหลายเหลี่ยมเว้าให้เป็นสามเหลี่ยม โดยการแบ่งรูปห้าเหลี่ยมเว้าออกเป็นสามเหลี่ยมโดยใช้เส้นทแยงมุมที่ไม่ตัดกัน
2. การสร้างแบบจำลองโครงสร้างและการสลับตำแหน่งแบบไม่ตรงจุด
ความสัมพันธ์เชิงอนุกรมให้กรอบการทำงานที่เข้มงวดสำหรับปัญหาการนับที่ไม่ชัดเจน เช่น การสลับตำแหน่งแบบไม่ตรงจุดชื่อทางเทคนิคของการจัดเรียงที่องค์ประกอบใด ๆ ไม่ได้อยู่ในตำแหน่งเดิมคือการสลับตำแหน่งแบบไม่ตรงจุด ($D_n$)
ความสัมพันธ์สำหรับการสลับตำแหน่งแบบไม่ตรงจุดคือ:
$$D_n - nD_{n-1} = (-1)^n$$
หรืออีกแบบหนึ่ง: $D_n = (n-1)(D_{n-1} + D_{n-2})$ ซึ่งนับจำนวนวิธีที่ $n$ คนจะได้รับหมวกผิดจากจุดเก็บหมวก
3. ขอบเขตของการเติบโตและความซับซ้อน
ความสัมพันธ์เชิงอนุกรมนิยามทั้งระบบประสิทธิภาพสูงและระบบคอมพิวเตอร์ที่ "ระเบิด" ได้:
- แนวทางแบ่งแยกและเอาชนะ: การค้นหาแบบไบนารีถูกแสดงด้วย $a_n = c a_{n/m} + d$ ซึ่งให้เวลาทำงานเป็นลอการิธึม
- ฟังก์ชันแอคเกอร์มาน: นิยามความลึกแบบเรียกซ้ำที่เติบโตเร็วกว่าฟังก์ชันพหุนามหรือเอ็กซ์โปเนนเชียลใด ๆ: $$AO(x + 3, y, z + 1) = AO(x + 2, y, AO(x + 3, y, z))$$